문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 라그랑주 승수법 (문단 편집) == 예시 == ||양수 [math(x_1, \cdots, x_n)]의 합이 [math(n)]일 때, 곱의 최대값이 1임을 보이시오.|| [[산술·기하 평균 부등식]]이다. [math(f = x_1 x_2 \cdots x_n)], [math(g = x_1 + x_2 + \cdots + x_n - n)]로 놓자. [math(\nabla f = (\frac{x_1 \cdots x_n}{x_1}, \cdots, \frac{x_1 \cdots x_n}{x_n} ), \nabla g = (1,\cdots, 1) )] 에서 [math(\nabla f, \nabla g)]가 평행하려면 [math( x_1 = x_2 = \cdots = x_n )] 이어야 함을 알 수 있다. 따라서 라그랑주 승수법은 [math( x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 1)]에서 만족된다. 이제 이 점이 실제로 극점이며 최대값을 준다는 사실을 증명한다. 영역 [math(C=\{(x_1,\cdots,x_n) : x_i \ge 0, x_1 + \cdots+x_n=n\})]은 컴팩트이고, [[최대·최소 정리]]를 적용시키면 [math(C)] 위에서 [math(f)]의 최대값이 존재한다는 사실을 알 수 있다. 하지만 [math(C)]의 경계에서는 [math(f=0)]이므로, [math(f)]의 최대값은 [math(C)]의 내부에서만 존재한다. 따라서 최대점은 극점이어야 하고, 유일한 극점 후보인 [math((1,\cdots,1))]이 최대값을 주어야 하는 것이다. ||a^2+b^2=c^2+d^2=1일 때, [math(ac+bd)]의 최대/최소값을 구하시오.|| [[코시-슈바르츠 부등식]]이다. [math(f =ac+bd, g_1 = a^2 +b^2-1, g_2 = c^2+d^2-1 )]로 놓자. [math(\nabla f = (c,d,a,b), \nabla g_1 = (2a,2b,0,0), \nabla g_2 = (0,0,2c,2d) )] 이므로 [math(\nabla f \in \mathrm{span}(\nabla g_1, \nabla g_2))]의 조건을 곱씹어 보면 [math((a,b),(c,d))]가 일차종속이라는 것과 동치임을 알 수 있다. 이 문제에서는 [math(g_1=g_2=0)]의 영역은 컴팩트이기 때문에 최대/최소점이 당연히 극점으로서 존재하고, 따라서 이 경우에만 최대/최소값이 나온다. 실제로 [math((a,b)=(c,d))]이면 최대값 1, [math((a,b)=-(c,d))]이면 최소값 -1을 준다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기